Moving Average In R Paket

Ich habe eine Handlung von Zeitreihen im ggplot2-Paket und ich habe den Moving-Durchschnitt durchgeführt und ich möchte das Ergebnis des gleitenden Durchschnitts in die Handlung der Zeitreihen hinzufügen. Sample of Data-set p31.ambtemp dt -1 14 2007-09 -29 00 01 57 -1 12 2007-09-29 00 03 57 -1 33 2007-09-29 00 05 57 -1 44 2007-09-29 00 07 57 -1 54 2007-09-29 00 09 57 - 1 29 2007-09-29 00 11 57.Applied Code für Zeitreihen-Präsentation. Sample der Zeitreihen-Präsentation. Sample of Moving average plot Beispiel für erwartete Ergebnisse. Die Herausforderung ist, dass Zeitreihen-Daten ov aus Datensatz, der Zeitstempel enthält, erhalten Und Temperatur aber Verschieben durchschnittliche Daten gehören nur die durchschnittliche Spalte und nicht die Zeitstempel und Anpassung dieser beiden können Inkonsistenz verursachen. Moving Durchschnitte in R. Zu der besten meiner Kenntnisse, R hat keine eingebaute Funktion, um gleitende Durchschnitte zu berechnen Mit dem Filter-Funktion, aber wir können eine kurze Funktion für das Bewegen von Mitteln schreiben. Wir können dann die Funktion auf alle Daten mav Daten oder mav Daten, 11 wenn wir wan T, um eine andere Anzahl von Datenpunkten anzugeben, als die Standard-5-Plotten-Werke als erwartete Plot-Mav-Daten. Zusätzlich zu der Anzahl der Datenpunkte, über die zu durchschnittlich, können wir auch die Seiten ändern Argument der Filterfunktionen Seiten 2 verwendet beide Seiten , Seiten 1 verwendet nur vergangene Werte. Post Navigation Navigation Navigation Navigation. Using R für Zeitreihenanalyse. Time Series Analysis. This Broschüre zeigt Ihnen, wie Sie die R-Statistik-Software verwenden, um einige einfache Analysen durchzuführen, die bei der Analyse von Zeitreihendaten üblich sind. Diese Broschüre geht davon aus, dass der Leser einige Grundkenntnisse der Zeitreihenanalyse hat und der Hauptfokus der Broschüre ist nicht, die Zeitreihenanalyse zu erläutern, sondern vielmehr zu erklären, wie diese Analysen mit R. durchgeführt werden können. Wenn Sie neu in der Zeitreihe sind Analyse und wollen mehr über irgendwelche der hier vorgestellten Konzepte erfahren, ich empfehle das Open University Buch Zeitreihe Produktcode M249 02, erhältlich ab dem Open University Shop Broschüre, werde ich Zeitreihen-Datensätze verwenden, die von Rob Hyndman in seiner Zeitreihen-Datenbibliothek zur Verfügung gestellt wurden. Wenn Sie diese Broschüre mögen, können Sie auch gerne meine Broschüre über die Verwendung von R für biomedizinische Statistiken und Meine Broschüre über die Verwendung von R für multivariate Analyse. Lesen Sie die Zeitreihe Daten. Die erste Sache, die Sie tun möchten, um Ihre Zeitreihe Daten zu analysieren, wird es in R zu lesen, und die Zeitreihe zu zeichnen Sie können Daten in R mit lesen Die Scan-Funktion, die davon ausgeht, dass Ihre Daten für aufeinanderfolgende Zeitpunkte in einer einfachen Textdatei mit einer Spalte sind. Zum Beispiel enthält die Datei Daten über das Alter des Todes der aufeinanderfolgenden Könige von England, beginnend mit William der Eroberer ursprüngliche Quelle Hipel und Mcleod, 1994.Der Datensatz sieht so aus. Nur die ersten Zeilen der Datei wurden gezeigt Die ersten drei Zeilen enthalten einen Kommentar zu den Daten, und wir wollen dies ignorieren, wenn wir die Daten in R lesen. Wir können dies verwenden Mit dem Sprungparameter von th E Scan-Funktion, die angibt, wie viele Zeilen an der Oberseite der Datei zu ignorieren, um die Datei in R zu lesen, ignorieren die ersten drei Zeilen, geben wir. In diesem Fall das Alter des Todes von 42 aufeinander folgenden Königen von England wurde in gelesen Die Variablen kings. Once Sie die Zeitreihen-Daten in R gelesen haben, ist der nächste Schritt, um die Daten in einem Zeitreihenobjekt in R zu speichern, damit Sie R s viele Funktionen für die Analyse von Zeitreihendaten verwenden können, um die Daten zu speichern Ein Zeitreihenobjekt, verwenden wir die ts-Funktion in R Zum Beispiel, um die Daten in den Variablen kings als Zeitreihenobjekt in R zu speichern, geben wir ein. Manchmal ist der Zeitreihen-Datensatz, den Sie in regelmäßigen Abständen gesammelt haben können Das waren weniger als ein Jahr, zum Beispiel monatlich oder vierteljährlich In diesem Fall können Sie die Anzahl der Daten festlegen, die Daten pro Jahr gesammelt wurden, indem Sie den Frequenzparameter in der ts-Funktion verwenden. Für monatliche Zeitreihendaten legen Sie die Frequenz 12 fest, Während für vierteljährliche Zeitreihendaten Sie die Frequenz 4.You einstellen Kann auch das erste Jahr angeben, in dem die Daten gesammelt wurden, und das erste Intervall in diesem Jahr, indem wir den Startparameter in der ts-Funktion verwenden. Wenn beispielsweise der erste Datenpunkt dem zweiten Quartal 1986 entspricht, würden Sie den Anfang c 1986 setzen , 2.Ein Beispiel ist ein Datensatz der Anzahl der Geburten pro Monat in New York City, von Januar 1946 bis Dezember 1959 ursprünglich von Newton gesammelt Diese Daten sind in der Datei verfügbar Wir können die Daten in R lesen und speichern sie als Ein Zeitreihenobjekt, durch Tippen. Ähnlich enthält die Datei monatliche Verkäufe für einen Souvenirshop an einem Badeort in Queensland, Australien, für Januar 1987 - Dezember 1993 Originaldaten von Wheelwright und Hyndman, 1998 Wir können die Daten in R lesen Durch Tippen. Plotting Time Series. Once Sie haben eine Zeitreihe in R gelesen, ist der nächste Schritt in der Regel, um eine Handlung der Zeitreihe Daten, die Sie mit der Funktion in R. For Beispiel machen können, um die Zeitreihen zu zeichnen Von dem Alter des Todes von 42 aufeinanderfolgenden Königen von England, wir Typ. Wir können aus dem Zeitplot sehen, dass diese Zeitreihe vermutlich mit einem additiven Modell beschrieben werden könnte, da die zufälligen Schwankungen der Daten in der Größe über die Zeit grob konstant sind. Ebenso soll die Zeitreihe der Geburtenzahl pro Monat in New York City, wir Typ. Wir können aus dieser Zeitreihe sehen, dass es saisonale Variation in der Anzahl der Geburten pro Monat gibt es einen Höhepunkt jeden Sommer und ein Trog jeden Winter Wieder scheint es, dass diese Zeitreihe Könnte vermutlich unter Verwendung eines additiven Modells beschrieben werden, da die saisonalen Schwankungen im Laufe der Zeit etwa konstant sind und sich nicht auf das Niveau der Zeitreihen verlassen, und die zufälligen Schwankungen scheinen auch über die Zeit annähernd konstant zu sein. Ähnlich , Um die Zeitreihe der monatlichen Verkäufe für die Souvenir-Shop an einem Strand-Resort-Stadt in Queensland, Australien zu veranschaulichen, wir in diesem Fall scheint es, dass ein additives Modell ist nicht geeignet für die Beschreibung dieser Zeitreihe, da die Größe von Die saisonalen Schwankungen und zufälligen Schwankungen scheinen mit dem Niveau der Zeitreihe zu steigen. So können wir die Zeitreihen umwandeln, um eine transformierte Zeitreihe zu erhalten, die mit einem additiven Modell beschrieben werden kann. Zum Beispiel können wir die Zeit umwandeln Serie, indem wir das natürliche Protokoll der ursprünglichen Daten berechnen. Hier sehen wir, dass die Größe der saisonalen Schwankungen und zufälligen Schwankungen in der logarithmierten Zeitreihe im Laufe der Zeit etwa konstant zu sein scheinen und nicht von der Zeit abhängen Serie So kann die log-transformierte Zeitreihe vermutlich mit einem additiven Modell beschrieben werden. Decomposition Zeitreihe. Decomposition eine Zeitreihe bedeutet Trennung es in seine konstituierenden Komponenten, die in der Regel eine Trend-Komponente und eine unregelmäßige Komponente, und wenn es ein ist Saisonale Zeitreihen, eine saisonale Komponente. Diskomposition Nicht saisonale Daten. Ansseitige Zeitreihe besteht aus einer Trendkomponente und einer unregelmäßigen Komponente Zerlegen der Zeitreihe inv Olves versuchen, die Zeitreihen in diese Komponenten zu trennen, dh die Schätzung der Trendkomponente und der unregelmäßigen Komponente. Um die Trendkomponente einer nicht saisonalen Zeitreihe zu schätzen, die mit einem additiven Modell beschrieben werden kann, ist es üblich, zu verwenden Ein Glättungsverfahren, wie zB die Berechnung des einfachen gleitenden Mittels der Zeitreihen. Die SMA-Funktion im TTR R-Paket kann verwendet werden, um Zeitreihendaten mit einem einfachen gleitenden Durchschnitt zu glätten. Um diese Funktion nutzen zu können, müssen wir zuerst den TTR R installieren Paket für Anleitungen zur Installation eines R-Pakets finden Sie unter So installieren Sie ein R-Paket Sobald Sie das TTR R-Paket installiert haben, können Sie das TTR R-Paket laden, indem Sie es eingeben. Sie können dann die SMA-Funktion verwenden, um die Zeitreihendaten To zu verkleinern Verwenden Sie die SMA-Funktion, Sie müssen die Auftragsspanne des einfachen gleitenden Durchschnitts angeben, indem Sie den Parameter n verwenden. Um beispielsweise einen einfachen gleitenden Durchschnitt der Ordnung 5 zu berechnen, setzen wir in der SMA-Funktion auf n 5. Zum Beispiel, wie oben diskutiert , Die Zeitserie S des Todesalter von 42 aufeinanderfolgenden Königen von England erscheint nicht saisonal und kann vermutlich mit einem additiven Modell beschrieben werden, da die zufälligen Schwankungen in den Daten ungefähr konstant in der Größe über der Zeit sind. So können wir versuchen zu schätzen Die Trendkomponente dieser Zeitreihe durch Glättung mit einem einfachen gleitenden Durchschnitt Um die Zeitreihen mit einem einfachen gleitenden Durchschnitt von Ordnung 3 zu glätten und die geglätteten Zeitreihendaten zu zeichnen, geben wir. Es scheint immer noch ziemlich viele zufällige Schwankungen zu sein In der Zeitreihe geglättet mit einem einfachen gleitenden Durchschnitt der Ordnung 3 So, um die Trendkomponente genauer zu schätzen, möchten wir vielleicht versuchen, die Daten mit einem einfachen gleitenden Durchschnitt einer höheren Ordnung zu glätten. Das dauert ein bisschen Test - Fehler, um die richtige Menge an Glättung zu finden Zum Beispiel können wir versuchen, einen einfachen gleitenden Durchschnitt der Ordnung zu verwenden. Die Daten, die mit einem einfachen gleitenden Durchschnitt der Ordnung 8 geglättet wurden, geben ein klareres Bild der Trendkomponente, und wir können sehen, dass die Alter von Der Tod der englischen Könige scheint von etwa 55 Jahren auf etwa 38 Jahre alt gewesen zu sein, während der Herrschaft der ersten 20 Könige, und dann nach dem bis etwa 73 Jahre alt am Ende der Herrschaft des 40. Königs in der Zeitreihe. Diskomposition saisonale Daten. Sehrliche Zeitreihe besteht aus einer Trendkomponente, einer saisonalen Komponente und einer unregelmäßigen Komponente Zerlegen der Zeitreihe bedeutet, die Zeitreihe in diese drei Komponenten zu trennen, die die Schätzung dieser drei Komponenten ist. Um die Trendkomponente zu schätzen Und saisonale Bestandteil einer saisonalen Zeitreihe, die mit einem additiven Modell beschrieben werden kann, können wir die Zerlegungsfunktion in R verwenden. Diese Funktion schätzt die Trend-, Saison - und unregelmäßigen Komponenten einer Zeitreihe, die mit einem additiven Modell beschrieben werden kann Function decompose gibt ein Listenobjekt als Ergebnis zurück, wobei die Schätzungen der Saisonkomponente, der Trendkomponente und der unregelmäßigen Komponente in benannten Elementen dieser Liste gespeichert sind. O Bits, genannt saisonale, Trend und zufällig. Zum Beispiel, wie oben diskutiert, die Zeitreihe der Anzahl der Geburten pro Monat in New York City ist saisonal mit einem Peak jeden Sommer und Trog jeden Winter, und kann wahrscheinlich beschrieben werden Ein additives Modell, da die saisonalen und zufälligen Schwankungen im Laufe der Zeit annähernd konstant zu sein scheinen. Um den Trend, die saisonalen und unregelmäßigen Komponenten dieser Zeitreihe abzuschätzen, geben wir die Schätzwerte der saisonalen, trend - und unregelmäßigen Komponenten ein In Variablen Geburtstimeseriescomponents saisonale, birthstimeseriescomponents Trend und birthstimeseriescomponents zufällig Zum Beispiel können wir die geschätzten Werte der Saisonkomponente ausdrucken, indem wir sie eingeben. Die geschätzten saisonalen Faktoren werden für die Monate Januar-Dezember gegeben und sind die gleichen für jedes Jahr Die größte saisonale Faktor ist für Juli etwa 1 46, und die niedrigste ist für Februar etwa -2 08, was darauf hinweist, dass es scheint ein Höhepunkt in Geburten in Ju Ly und ein Trog in Geburten im Februar jedes Jahr. Wir können die geschätzten Trend, saisonale und unregelmäßige Komponenten der Zeitreihe unter Verwendung der Plot-Funktion, zum Beispiel. Das Diagramm oben zeigt die ursprüngliche Zeitreihe oben, die geschätzte Trend-Komponente Zweitens von oben, die geschätzte saisonale Komponente drittens von oben und die geschätzte unregelmäßige Komponente unten Wir sehen, dass die geschätzte Trendkomponente einen kleinen Rückgang von etwa 24 im Jahr 1947 auf etwa 22 im Jahr 1948 zeigt, gefolgt von einem stetigen Anstieg von dann weiter auf etwa 27 im Jahr 1959.Seasonally Adjusting. If Sie haben eine saisonale Zeitreihen, die mit einem additiven Modell beschrieben werden können, können Sie saisonabhängig die Zeitreihen durch die Schätzung der saisonalen Komponente und subtrahieren die geschätzte saisonale Komponente aus der ursprünglichen Zeitreihen können wir tun Dies mit der Schätzung der saisonalen Komponente berechnet durch die Zersetzung Funktion. Zum Beispiel, um saisonabhängig die Zeitreihe der Anzahl der Geburten pro Monat in New York City , Können wir die saisonale Komponente unter Verwendung von Zerlegung abschätzen und dann die saisonale Komponente von der ursprünglichen Zeitreihe subtrahieren. Wir können dann die saisonbereinigte Zeitreihe unter Verwendung der Plot-Funktion durch Tippen aufzeichnen. Sie können sehen, dass die saisonale Variation entfernt wurde Die saisonbereinigte Zeitreihe Die saisonbereinigte Zeitreihe enthält nun nur die Trendkomponente und einen unregelmäßigen Bestandteil. Forecasts mit exponentieller Glättung. Exponentielle Glättung kann verwendet werden, um kurzfristige Prognosen für Zeitreihendaten zu machen. Simple Exponential Smoothing. If Sie haben eine Zeitreihen, die mit einem additiven Modell mit konstantem Niveau und ohne Saisonalität beschrieben werden können, können Sie einfache, exponentielle Glättung verwenden, um kurzfristige Prognosen zu machen. Die einfache exponentielle Glättungsmethode bietet eine Möglichkeit, den Pegel zum aktuellen Zeitpunkt zu schätzen. Glättung wird gesteuert Durch den Parameter alpha für die Schätzung des Pegels zum aktuellen Zeitpunkt Der Wert von alpha liegt zwischen 0 und 1 Va Lues von alpha, die nahe bei 0 sind, bedeutet, dass wenig Gewicht auf die neuesten Beobachtungen bei der Vorhersage von zukünftigen Werten gesetzt wird. Zum Beispiel enthält die Datei insgesamt jährlichen Niederschlag in Zoll für London, von 1813-1912 Original-Daten von Hipel und McLeod , 1994 Wir können die Daten in R lesen und sie durch Tippen aussortieren. Sie können aus der Handlung sehen, dass es annähernd konstant ist, der Mittelwert bleibt bei etwa 25 Zoll konstant. Die zufälligen Schwankungen in der Zeitreihe scheinen in etwa größer zu sein Zeit, so ist es wohl sinnvoll, die Daten mit einem additiven Modell zu beschreiben. So können wir Prognosen mit einfacher exponentieller Glättung vornehmen. Um Prognosen mit einfacher exponentieller Glättung in R zu machen, können wir mit der HoltWinters-Funktion ein einfaches, exponentielles Glättungsprädiktionsmodell platzieren R Um HoltWinters für eine einfache exponentielle Glättung zu verwenden, müssen wir die Parameter beta FALSE und Gamma FALSE in der HoltWinters-Funktion einstellen. Die Beta - und Gamma-Parameter werden für Holt s exp verwendet Exaktes Glätten oder Holt-Winters exponentielle Glättung, wie unten beschrieben. Die HoltWinters-Funktion gibt eine Listenvariable zurück, die mehrere benannte Elemente enthält. Zum Beispiel, um eine einfache exponentielle Glättung zu verwenden, um Prognosen für die Zeitreihe des jährlichen Niederschlags in London zu machen Typ. Die Ausgabe von HoltWinters sagt uns, dass der Schätzwert des Alpha-Parameters etwa 0 024 ist. Dies ist sehr nahe bei Null und sagt uns, dass die Prognosen auf den jüngsten und weniger aktuellen Beobachtungen basieren, obwohl etwas mehr Gewicht auf die jüngsten Beobachtungen gelegt wird. By Standard, HoltWinters macht nur Prognosen für den gleichen Zeitraum von unserer ursprünglichen Zeitreihe abgedeckt In diesem Fall unsere ursprüngliche Zeitreihe enthalten Niederschlag für London von 1813-1912, so dass die Prognosen sind auch für 1813-1912.In dem Beispiel oben , Haben wir die Ausgabe der HoltWinters-Funktion in der Listenvariablen rainseriesforecasts gespeichert. Die Prognosen von HoltWinters werden in einem benannten Element dieses Listenvariablenaufrufs gespeichert Ed platziert, so können wir ihre Werte durch Tippen. Wir können die ursprüngliche Zeitreihe gegen die Prognosen durch Tippen. Das Plot zeigt die ursprüngliche Zeitreihe in schwarz, und die Prognosen als rote Linie Die Zeitreihe der Prognosen ist viel glatter Als die Zeitreihen der ursprünglichen Daten hier. Als Maß für die Genauigkeit der Prognosen können wir die Summe der quadratischen Fehler für die Prognosefehler in der Stichprobe berechnen, dh die Prognosefehler für den von unserem Original abgedeckten Zeitraum Zeitreihen Die Summe von quadratischen Fehlern wird in einem benannten Element der Listenvariablen rainseriesforecasts mit dem Namen SSE gespeichert, so dass wir ihren Wert durch Tippen erhalten können. Das ist hier die Summe von quadratischen Fehlern ist 1828 855.It Ist in der einfachen exponentiellen Glättung üblich, um den ersten Wert in der Zeitreihe als Anfangswert für die Ebene zu verwenden. Zum Beispiel in der Zeitreihe für Niederschläge in London ist der erste Wert 23 56 Zoll für Niederschlag im Jahre 1813 Sie können die Initiale angeben Wert für den Level im HoltWinters func Indem Sie den Parameter verwenden, um Vorhersagen mit dem Anfangswert des auf 23 56 eingestellten Pegels zu setzen, geben wir ein. Wie oben erläutert, stellt HoltWinters standardmäßig Prognosen für den von den Originaldaten abgedeckten Zeitraum dar, der 1813- 1912 für die Regenzeit-Zeitreihen Wir können Prognosen für weitere Zeitpunkte mithilfe der Funktion im R-Prognosepaket vornehmen Um die Funktion zu nutzen, müssen wir zunächst das Prognose-R-Paket für Anleitungen zur Installation eines R-Pakets installieren Installieren Sie ein R-Paket. Wenn Sie das Prognose-R-Paket installiert haben, können Sie das Prognose-R-Paket durch Eingabe eingeben. Wenn Sie die Funktion als erste Argument-Eingabe verwenden, übergeben Sie das Vorhersagemodell, das Sie bereits mit der HoltWinters-Funktion installiert haben Zum Beispiel haben wir im Fall der Regenzeit-Zeitreihen das Vorhersagemodell, das mit HoltWinters gemacht wurde, in den variablen rainseriesforecasts gespeichert. Sie geben an, wie viele weitere Zeitpunkte Sie vorhersagen möchten, indem Sie die ha Meter in Zum Beispiel, um eine Prognose von Niederschlägen für die Jahre 1814-1820 8 weitere Jahre mit uns Typ. Die Funktion gibt Ihnen die Prognose für ein Jahr, ein 80 Vorhersage Intervall für die Prognose und ein 95 Vorhersage Intervall für die Prognose Zum Beispiel ist der prognostizierte Niederschlag für 1920 etwa 24 68 Zoll, mit einem 95 Vorhersage Intervall von 16 24, 33 11.To Plot der Vorhersagen gemacht, können wir die Funktion nutzen. Hier die Prognosen für 1913-1920 sind als blau aufgetragen Line, das 80-Vorhersageintervall als orangefarbener schattierter Bereich und das 95-Vorhersageintervall als gelber schattierter Bereich. Die Prognosefehler werden als die beobachteten Werte abzüglich der vorhergesagten Werte berechnet. Für jeden Zeitpunkt können wir nur die Prognosefehler für die Zeit berechnen Zeitraum, der von unserer ursprünglichen Zeitreihe abgedeckt wird, die 1813-1912 für die Niederschlagsdaten ist Wie oben erwähnt, ist ein Maß für die Genauigkeit des prädiktiven Modells die Summe der quadratischen Fehler SSE für die in-Beispiel-Prognosefehler - Beispielprognosefehler sind gespeichert Ed in den benannten Elementresten der Listenvariablen zurückgegeben von Wenn das Vorhersagemodell nicht verbessert werden kann, sollte es keine Korrelationen zwischen Prognosefehlern für sukzessive Vorhersagen geben. Wenn also Korrelationen zwischen Prognosefehlern für aufeinanderfolgende Vorhersagen bestehen, ist es wahrscheinlich Dass die einfachen exponentiellen Glättungsprognosen durch eine andere Prognosetechnik verbessert werden könnten. Um herauszufinden, ob dies der Fall ist, können wir ein Korrelogramm der In-Probe-Prognosefehler für die Verzögerungen 1-20 erhalten. Wir können ein Korrelogramm der Prognosefehler berechnen Mit der acf-Funktion in R Um die maximale Verzögerung zu spezifizieren, die wir betrachten wollen, verwenden wir den Parameter in acf. For Beispiel, um ein Korrelogramm der in-Beispiel-Prognosefehler für die Londoner Niederschlagsdaten für die Verzögerungen 1-20 zu berechnen, Wir können aus dem Beispiel-Korrelogramm sehen, dass die Autokorrelation bei Verzögerung 3 nur die Signifikanzgrenzen berührt. Um zu testen, ob es signifikante Hinweise auf Nicht-Null-Korrelationen gibt a T tagt 1-20, wir können einen Ljung-Box-Test durchführen. Dies kann in R mit der Funktion durchgeführt werden. Die maximale Verzögerung, die wir betrachten wollen, wird mit dem Lag-Parameter in der Funktion angegeben Sind Nicht-Null-Autokorrelationen bei Verzögerungen 1-20, für die in-Beispiel-Prognose Fehler für London Niederschlag Daten, wir type. Here die Ljung-Box Test Statistik ist 17 4, und der p-Wert ist 0 6, so gibt es wenig Nachweis von Nicht-Null-Autokorrelationen in den Prognosefehlern an den Stichproben 1-20. Um sicherzustellen, dass das Vorhersagemodell nicht verbessert werden kann, ist es auch eine gute Idee, zu prüfen, ob die Prognosefehler normalerweise mit dem mittleren Nullpunkt verteilt sind Konstante Varianz Um zu prüfen, ob die Prognosefehler eine ständige Varianz haben, können wir eine Zeitpläne der Prognosefehler in der Stichprobe machen. Das Diagramm zeigt, dass die Prognosefehler in der Stichprobe im Laufe der Zeit eine annähernd konstante Varianz aufweisen, obwohl die Größe der Schwankungen am Anfang der Zeitreihe 1820-1830 können leicht le Ss als das zu späteren Terminen zB 1840-1850. Um zu prüfen, ob die Prognosefehler normalerweise mit dem Mittelwert Null verteilt sind, können wir ein Histogramm der Prognosefehler darstellen, mit einer überlagerten Normalkurve, die einen mittleren Nullpunkt hat und die gleiche Standardabweichung wie die Verteilung von Prognosefehlern Um dies zu tun, können wir eine R-Funktion PlotForecastErrors definieren, unten. Sie müssen die Funktion oben in R kopieren, um es zu verwenden Sie können dann plotForecastErrors verwenden, um ein Histogramm mit überlagerten Normalkurve der Prognosefehler zu zeichnen Für die Niederschlagsvorhersage. Die Handlung zeigt, dass die Verteilung der Prognosefehler grob auf Null zentriert ist und mehr oder weniger normal verteilt ist, obwohl es scheint, etwas nach rechts verglichen zu einer normalen Kurve zu sein. Allerdings ist die rechte Schiefung relativ Klein, und so ist es plausibel, dass die Prognosefehler normalerweise mit dem mittleren Null verteilt sind. Der Ljung-Box-Test zeigte, dass es wenig Hinweise auf Nicht-Null-Autokorrelationen in der In-Probe für gibt Emittierte Fehler, und die Verteilung von Prognosefehlern scheint normalerweise mit mittlerem Null verteilt zu sein. Dies deutet darauf hin, dass die einfache exponentielle Glättungsmethode ein adäquates prädiktives Modell für den Niederschlag von London bietet, was wahrscheinlich nicht verbessert werden kann. Darüber hinaus sind die Annahmen, dass die 80- und 95-Vorhersagen Intervalle basierten darauf, dass es keine Autokorrelationen in den Prognosefehlern gibt und die Prognosefehler normalerweise mit mittlerem Null verteilt sind und konstante Varianz wahrscheinlich wahrscheinlich ist. Holt s Exponentielle Glättung. Wenn Sie eine Zeitreihe haben, die mit einem additiven Modell beschrieben werden kann Mit zunehmender oder abnehmender Tendenz und ohne Saisonalität können Sie Holts s exponentielle Glättung verwenden, um kurzfristige Prognosen zu machen. Holt s exponentielle Glättung schätzt den Pegel und die Steigung zum aktuellen Zeitpunkt Glättung wird durch zwei Parameter, Alpha, für die Schätzung von gesteuert Das Niveau zum aktuellen Zeitpunkt und Beta für die Schätzung der Steigung b der Trendkomponente am c Zeitlicher Zeitpunkt Wie bei der einfachen exponentiellen Glättung haben die Parameter alpha und beta Werte zwischen 0 und 1, und Werte, die nahe bei 0 liegen, bedeuten, dass bei der Erstellung von Prognosen zukünftiger Werte wenig Gewicht auf die aktuellsten Beobachtungen gelegt wird Zeitreihen, die vermutlich mit einem additiven Modell mit einem Trend beschrieben werden können und keine Saisonalität ist die Zeitreihe des Jahresdurchmessers der Röcke am Saum von 1866 bis 1911 Die Daten sind in den Originaldateien von Hipel und McLeod verfügbar , 1994. Wir können die Daten in R einlesen und darlegen. Wir können aus der Handlung sehen, dass es im Jahre 1880 eine Zunahme des Saumdurchmessers von etwa 600 im Jahre 1866 auf etwa 1050 gab, und danach sank der Saumdurchmesser auf etwa 520 im Jahr 1911. Um Prognosen zu machen, können wir ein Vorhersagemodell mit der HoltWinters-Funktion in R platzieren. Um HoltWinters für die exponentielle Glättung von Holt zu verwenden, müssen wir den Parameter gamma FALSE setzen, der Gamma-Parameter wird für Holt-Winters exponentielle smo verwendet Othing, wie unten beschrieben. Zum Beispiel, um Holt s exponentielle Glättung verwenden, um ein prädiktives Modell für Rock-Saum Durchmesser passen, geben wir. Der geschätzte Wert von Alpha ist 0 84, und von Beta ist 1 00 Dies sind beide hoch, sagen uns Dass sowohl die Schätzung des aktuellen Wertes des Niveaus als auch der Steigung b der Trendkomponente vor allem auf sehr jüngsten Beobachtungen in der Zeitreihe beruht. Dies macht einen guten intuitiven Sinn, da das Niveau und die Steigung der Zeitreihe beide sind Im Laufe der Zeit ziemlich viel ändern Der Wert der Summe-Quadrat-Fehler für die Prognosefehler ist 16954.Wir können die ursprüngliche Zeitreihe als schwarze Linie darstellen, wobei die prognostizierten Werte als rote Linie oben liegen Dass, durch Tippen. Wir können aus dem Bild sehen, dass die in-Beispiel-Prognosen ziemlich gut mit den beobachteten Werten übereinstimmen, obwohl sie dazu neigen, hinter den beobachteten Werten ein wenig zurückzukehren. Wenn Sie möchten, können Sie die Anfangswerte der Level und die Steigung b der Trendkomponente, indem sie die und argumentieren Nts für die Funktion HoltWinters Es ist üblich, den Anfangswert des Pegels auf den ersten Wert in der Zeitreihe 608 für die Röhrendaten und den Anfangswert der Steigung auf den zweiten Wert abzüglich des ersten Wertes 9 für die Röhrendaten einzustellen Zum Beispiel, um ein Vorhersagemodell an die Rock-Saum-Daten mit Holt s exponentielle Glättung anzupassen, mit Anfangswerten von 608 für die Ebene und 9 für die Steigung b der Trend-Komponente, wir Typ. As für einfache exponentielle Glättung können wir machen Prognosen für zukünftige Zeiten, die nicht durch die ursprüngliche Zeitreihe abgedeckt sind, indem sie die Funktion im Prognosepaket verwenden. Zum Beispiel waren unsere Zeitreihendaten für Rock-Säume für 1866 bis 1911, so dass wir für 1912 bis 1930 19 weitere Datenpunkte vorhersagen können Zeichnen sie auf, indem sie schreiben. Die Prognosen werden als blaue Linie dargestellt, wobei die 80 Vorhersageintervalle als orangefarbener Schattierungsbereich und die 95 Vorhersageintervalle als gelber schattierter Bereich liegen. Für eine einfache exponentielle Glättung können wir überprüfen, ob das prädiktive Modell Cou Ld verbessert werden, indem man prüft, ob die Prognosefehler in der Stichprobe keine Autokorrelationen ungleich Null bei den Verzögerungen von 1-20 zeigen. Zum Beispiel können wir für die Rock-Saumdaten ein Korrelogramm durchführen und den Ljung-Box-Test durch Eingabe durchführen. Hier zeigt das Korrelogramm, dass die Stichprobenautokorrelation für die Prognosefehler bei der Stichprobe 5 die Signifikanzgrenzen übersteigt. Allerdings würden wir erwarten, dass einer von 20 der Autokorrelationen für die ersten zwanzig Verzögerungen die 95 Signifikanzgrenzen durch Zufall allein überschritten hat Wir führen den Ljung-Box-Test durch, der p-Wert ist 0 47, was darauf hinweist, dass es in den Stichprobenprognosefehlern bei den Fehlern 1-20 nur wenig Hinweise auf Nicht-Null-Autokorrelationen gibt. Für eine einfache exponentielle Glättung sollten wir auch Überprüfen Sie, ob die Prognosefehler im Laufe der Zeit konstant sind und normalerweise mit dem Mittelwert Null verteilt sind. Wir können dies tun, indem wir eine Zeitpläne von Prognosefehlern machen und ein Histogramm der Verteilung von Prognosefehlern mit einer überlagerten Normalkurve zum Ecast-Fehler zeigen, dass die Prognosefehler im Laufe der Zeit eine etwa konstante Varianz aufweisen. Das Histogramm der Prognosefehler zeigt, dass es plausibel ist, dass die Prognosefehler in der Regel mit mittlerem Null und konstanter Varianz verteilt sind. Der Ljung-Box-Test zeigt, dass es wenig Beweise gibt Von Autokorrelationen in den Prognosefehlern, während das Zeitplot und das Histogramm der Prognosefehler zeigen, dass es plausibel ist, dass die Prognosefehler normalerweise mit mittlerem Nullpunkt und konstanter Varianz verteilt werden. Daher können wir schließen, dass Holts s exponentielle Glättung ein adäquates Vorhersagemodell bietet Rock-Saumdurchmesser, die vermutlich nicht verbessert werden können. Darüber hinaus bedeutet das, dass die Annahmen, dass die 80- und 95-Vorhersage-Intervalle basieren, wahrscheinlich gültig sind. Holt-Winters Exponential-Glättung. Wenn Sie eine Zeitreihe haben, die mit einem beschrieben werden kann Additives Modell mit zunehmender oder abnehmender Tendenz und Saisonalität, können Sie Holt-Winters exponentielle Glättung verwenden, um s zu machen Hort-term prognosen. Holt-Winters exponentielle Glättung schätzt die Ebene, Steigung und saisonale Komponente zum aktuellen Zeitpunkt Glättung wird durch drei Parameter alpha, beta und gamma gesteuert, für die Schätzungen der Ebene, Steigung b der Trendkomponente, Und die saisonale Komponente zum aktuellen Zeitpunkt Die Parameter alpha, beta und gamma haben alle Werte zwischen 0 und 1, und Werte, die nahe bei 0 liegen, bedeuten, dass bei der Erstellung von Prognosen relativ wenig Gewicht auf die neuesten Beobachtungen gelegt wird Zukünftige Werte. Ein Beispiel für eine Zeitreihe, die vermutlich mit einem additiven Modell mit einem Trend und Saisonalität beschrieben werden kann, ist die Zeitreihe des Protokolls der monatlichen Verkäufe für den Souvenir-Shop an einem Badeort in Queensland, Australien, der oben diskutiert wurde Machen Sie Prognosen, können wir ein prädiktives Modell mit der HoltWinters-Funktion passen Zum Beispiel, um ein prädiktives Modell für das Protokoll der monatlichen Verkäufe im Souvenir-Shop passen, geben wir die geschätzten Werte von a Lpha, beta und gamma sind 0 41, 0 00 und 0 96. Der Wert von alpha 0 41 ist relativ niedrig, was anzeigt, dass die Schätzung des Pegels zum aktuellen Zeitpunkt auf sowohl neueren Beobachtungen als auch einigen Beobachtungen in der Weiter entfernte Vergangenheit Der Wert von beta ist 0 00, was anzeigt, dass die Schätzung der Steigung b der Trendkomponente nicht über die Zeitreihe aktualisiert wird und statt dessen gleich dem Anfangswert gesetzt wird. Dies macht einen guten intuitiven Sinn, wenn sich der Pegel ändert Ein bisschen über die Zeitreihe, aber die Steigung b der Trendkomponente bleibt ungefähr gleich Im Gegensatz dazu ist der Wert von Gamma 0 96 hoch, was darauf hindeutet, dass die Schätzung der saisonalen Komponente zum aktuellen Zeitpunkt nur auf sehr basiert Jüngste Beobachtungen. Wie für eine einfache exponentielle Glättung und Holt s exponentielle Glättung, können wir die ursprüngliche Zeitreihe als schwarze Linie, mit den prognostizierten Werten als eine rote Linie auf der Spitze. Wir sehen aus der Handlung, dass die Holt-Winters exponentiell Methode i S sehr erfolgreich bei der Vorhersage der saisonalen Gipfel, die etwa im November jedes Jahr auftreten. Um Prognosen für zukünftige Zeiten nicht in der ursprünglichen Zeitreihe enthalten, verwenden wir die Funktion im Prognosepaket Zum Beispiel sind die Originaldaten für den Souvenirverkauf Von Januar 1987 bis Dezember 1993 Wenn wir Prognosen für Januar 1994 bis Dezember 1998 48 weitere Monate machen wollten und die Prognosen abgeben würden, geben wir die Prognosen als blaue Linie und die orangefarbenen und gelben schattigen Gebiete zeigen 80 und 95 Vorhersageintervalle. Wir können untersuchen, ob das prädiktive Modell verbessert werden kann, indem man prüft, ob die In-Probe-Prognosefehler keine Null-Autokorrelationen bei den Verzögerungen 1-20 zeigen, indem sie ein Korrelogramm durchführen und den Ljung-Box-Test durchführen. Das Korrelogramm zeigt, dass die Autokorrelationen für die Prognosefehler in der Stichprobe die Signifikanzgrenzen für die Verzögerungen 1-20 nicht überschreiten. Außerdem ist der p-Wert für den Ljung-Box-Test 0 6, was anzeigt, dass es wenig e gibt Vilt von Nicht-Null-Autokorrelationen an den Verzögerungen 1-20.Wir können überprüfen, ob die Prognosefehler eine konstante Varianz über die Zeit haben und normalerweise mit dem mittleren Null verteilt werden, indem man eine Zeitplot der Prognosefehler und ein Histogramm mit überlagerter Normalkurve bildet. Aus dem Zeitplot scheint es plausibel zu sein, dass die Prognosefehler im Laufe der Zeit eine ständige Abweichung haben. Aus dem Histogramm der Prognosefehler scheint es plausibel zu sein, dass die Prognosefehler normalerweise mit dem mittleren Null verteilt sind. Es gibt also wenig Anzeichen für eine Autokorrelation bei Verzögerungen 1- 20 for the forecast errors, and the forecast errors appear to be normally distributed with mean zero and constant variance over time This suggests that Holt-Winters exponential smoothing provides an adequate predictive model of the log of sales at the souvenir shop, which probably cannot be improved upon Furthermore, the assumptions upon which the prediction intervals were based are probably valid. ARIMA Models. Exponential smoothing methods are useful for ma king forecasts, and make no assumptions about the correlations between successive values of the time series However, if you want to make prediction intervals for forecasts made using exponential smoothing methods, the prediction intervals require that the forecast errors are uncorrelated and are normally distributed with mean zero and constant variance. While exponential smoothing methods do not make any assumptions about correlations between successive values of the time series, in some cases you can make a better predictive model by taking correlations in the data into account Autoregressive Integrated Moving Average ARIMA models include an explicit statistical model for the irregular component of a time series, that allows for non-zero autocorrelations in the irregular component. Differencing a Time Series. ARIMA models are defined for stationary time series Therefore, if you start off with a non-stationary time series, you will first need to difference the time series until you obtain a stationary time series If you have to difference the time series d times to obtain a stationary series, then you have an ARIMA p, d,q model, where d is the order of differencing used. You can difference a time series using the diff function in R For example, the time series of the annual diameter of women s skirts at the hem, from 1866 to 1911 is not stationary in mean, as the level changes a lot over time. We can difference the time series which we stored in skirtsseries , see above once, and plot the differenced series, by typing. The resulting time series of first differences above does not appear to be stationary in mean Therefore, we can difference the time series twice, to see if that gives us a stationary time series. Formal tests for stationarity. Formal tests for stationarity called unit root tests are available in the fUnitRoots package, available on CRAN, but will not be discussed here. The time series of second differences above does appear to be stationary in mean and variance , as the level of the series stays roughly constant over time, and the variance of the series appears roughly constant over time Thus, it appears that we need to difference the time series of the diameter of skirts twice in order to achieve a stationary series. If you need to difference your original time series data d times in order to obtain a stationary time series, this means that you can use an ARIMA p, d,q model for your time series, where d is the order of differencing used For example, for the time series of the diameter of women s skirts, we had to difference the time series twice, and so the order of differencing d is 2 This means that you can use an ARIMA p,2,q model for your time series The next step is to figure out the values of p and q for the ARIMA model. Another example is the time series of the age of death of the successive kings of England see above. From the time plot above , we can see that the time series is not stationary in mean To calculate the time series of firs t differences, and plot it, we type. The time series of first differences appears to be stationary in mean and variance, and so an ARIMA p,1,q model is probably appropriate for the time series of the age of death of the kings of England By taking the time series of first differences, we have removed the trend component of the time series of the ages at death of the kings, and are left with an irregular component We can now examine whether there are correlations between successive terms of this irregular component if so, this could help us to make a predictive model for the ages at death of the kings. Selecting a Candidate ARIMA Model. If your time series is stationary, or if you have transformed it to a stationary time series by differencing d times, the next step is to select the appropriate ARIMA model, which means finding the values of most appropriate values of p and q for an ARIMA p, d,q model To do this, you usually need to examine the correlogram and partial correlogram of the stati onary time series. To plot a correlogram and partial correlogram, we can use the acf and pacf functions in R, respectively To get the actual values of the autocorrelations and partial autocorrelations, we set plot FALSE in the acf and pacf functions. Example of the Ages at Death of the Kings of England. For example, to plot the correlogram for lags 1-20 of the once differenced time series of the ages at death of the kings of England, and to get the values of the autocorrelations, we type. We see from the correlogram that the autocorrelation at lag 1 -0 360 exceeds the significance bounds, but all other autocorrelations between lags 1-20 do not exceed the significance bounds. To plot the partial correlogram for lags 1-20 for the once differenced time series of the ages at death of the English kings, and get the values of the partial autocorrelations, we use the pacf function, by typing. The partial correlogram shows that the partial autocorrelations at lags 1, 2 and 3 exceed the significance bounds, are negative, and are slowly decreasing in magnitude with increasing lag lag 1 -0 360, lag 2 -0 335, lag 3 -0 321 The partial autocorrelations tail off to zero after lag 3.Since the correlogram is zero after lag 1, and the partial correlogram tails off to zero after lag 3, this means that the following ARMA autoregressive moving average models are possible for the time series of first differences. an ARMA 3,0 model, that is, an autoregressive model of order p 3, since the partial autocorrelogram is zero after lag 3, and the autocorrelogram tails off to zero although perhaps too abruptly for this model to be appropriate. an ARMA 0,1 model, that is, a moving average model of order q 1, since the autocorrelogram is zero after lag 1 and the partial autocorrelogram tails off to zero. an ARMA p, q model, that is, a mixed model with p and q greater than 0, since the autocorrelogram and partial correlogram tail off to zero although the correlogram probably tails off to zero too abruptly fo r this model to be appropriate. We use the principle of parsimony to decide which model is best that is, we assume that the model with the fewest parameters is best The ARMA 3,0 model has 3 parameters, the ARMA 0,1 model has 1 parameter, and the ARMA p, q model has at least 2 parameters Therefore, the ARMA 0,1 model is taken as the best model. An ARMA 0,1 model is a moving average model of order 1, or MA 1 model This model can be written as Xt - mu Zt - theta Zt-1 , where Xt is the stationary time series we are studying the first differenced series of ages at death of English kings , mu is the mean of time series Xt, Zt is white noise with mean zero and constant variance, and theta is a parameter that can be estimated. A MA moving average model is usually used to model a time series that shows short-term dependencies between successive observations Intuitively, it makes good sense that a MA model can be used to describe the irregular component in the time series of ages at death of English kings, as we might expect the age at death of a particular English king to have some effect on the ages at death of the next king or two, but not much effect on the ages at death of kings that reign much longer after that. Shortcut the function. The function can be used to find the appropriate ARIMA model, eg type library forecast , then The output says an appropriate model is ARIMA 0,1,1.Since an ARMA 0,1 model with p 0, q 1 is taken to be the best candidate model for the time series of first differences of the ages at death of English kings, then the original time series of the ages of death can be modelled using an ARIMA 0,1,1 model with p 0, d 1, q 1, where d is the order of differencing required. Example of the Volcanic Dust Veil in the Northern Hemisphere. Let s take another example of selecting an appropriate ARIMA model The file file contains data on the volcanic dust veil index in the northern hemisphere, from 1500-1969 original data from Hipel and Mcleod, 1994 This is a measure of the impact of volcanic eruptions release of dust and aerosols into the environment We can read it into R and make a time plot by typing. From the time plot, it appears that the random fluctuations in the time series are roughly constant in size over time, so an additive model is probably appropriate for describing this time series. Furthermore, the time series appears to be stationary in mean and variance, as its level and variance appear to be roughly constant over time Therefore, we do not need to difference this series in order to fit an ARIMA model, but can fit an ARIMA model to the original series the order of differencing required, d, is zero here. We can now plot a correlogram and partial correlogram for lags 1-20 to investigate what ARIMA model to use. We see from the correlogram that the autocorrelations for lags 1, 2 and 3 exceed the significance bounds, and that the autocorrelations tail off to zero after lag 3 The autocorrelations for lags 1, 2, 3 are positive, and decrease in magnitude with increasing lag lag 1 0 666, lag 2 0 374, lag 3 0 162.The autocorrelation for lags 19 and 20 exceed the significance bounds too, but it is likely that this is due to chance, since they just exceed the significance bounds especially for lag 19 , the autocorrelations for lags 4-18 do not exceed the signifiance bounds, and we would expect 1 in 20 lags to exceed the 95 significance bounds by chance alone. From the partial autocorrelogram, we see that the partial autocorrelation at lag 1 is positive and exceeds the significance bounds 0 666 , while the partial autocorrelation at lag 2 is negative and also exceeds the significance bounds -0 126 The partial autocorrelations tail off to zero after lag 2.Since the correlogram tails off to zero after lag 3, and the partial correlogram is zero after lag 2, the following ARMA models are possible for the time series. an ARMA 2,0 model, since the partial autocorrelogram is zero after lag 2, and the correlogram tails off to zero after lag 3, and the partial correlogram is zero after lag 2.an ARMA 0,3 model, since the autocorrelogram is zero after lag 3, and the partial correlogram tails off to zero although perhaps too abruptly for this model to be appropriate. an ARMA p, q mixed model, since the correlogram and partial correlogram tail off to zero although the partial correlogram perhaps tails off too abruptly for this model to be appropriate. Shortcut the function. Again, we can use to find an appropriate model, by typing , which gives us ARIMA 1,0,2 , which has 3 parameters However, different criteria can be used to select a model see help page If we use the bic criterion, which penalises the number of parameters, we get ARIMA 2,0,0 , which is ARMA 2,0 bic. The ARMA 2,0 model has 2 parameters, the ARMA 0,3 model has 3 parameters, and the ARMA p, q model has at least 2 parameters Therefore, using the principle of parsimony, the ARMA 2,0 model and ARMA p, q model are equally good candidate models. An ARMA 2,0 model is an a utoregressive model of order 2, or AR 2 model This model can be written as Xt - mu Beta1 Xt-1 - mu Beta2 Xt-2 - mu Zt, where Xt is the stationary time series we are studying the time series of volcanic dust veil index , mu is the mean of time series Xt, Beta1 and Beta2 are parameters to be estimated, and Zt is white noise with mean zero and constant variance. An AR autoregressive model is usually used to model a time series which shows longer term dependencies between successive observations Intuitively, it makes sense that an AR model could be used to describe the time series of volcanic dust veil index, as we would expect volcanic dust and aerosol levels in one year to affect those in much later years, since the dust and aerosols are unlikely to disappear quickly. If an ARMA 2,0 model with p 2, q 0 is used to model the time series of volcanic dust veil index, it would mean that an ARIMA 2,0,0 model can be used with p 2, d 0, q 0, where d is the order of differencing required Similarly, if an ARMA p, q mixed model is used, where p and q are both greater than zero, than an ARIMA p,0,q model can be used. Forecasting Using an ARIMA Model. Once you have selected the best candidate ARIMA p, d,q model for your time series data, you can estimate the parameters of that ARIMA model, and use that as a predictive model for making forecasts for future values of your time series. You can estimate the parameters of an ARIMA p, d,q model using the arima function in R. Example of the Ages at Death of the Kings of England. For example, we discussed above that an ARIMA 0,1,1 model seems a plausible model for the ages at deaths of the kings of England You can specify the values of p, d and q in the ARIMA model by using the order argument of the arima function in R To fit an ARIMA p, d,q model to this time series which we stored in the variable kingstimeseries , see above , we type. As mentioned above, if we are fitting an ARIMA 0,1,1 model to our time series, it means we are fitting an an ARMA 0 ,1 model to the time series of first differences An ARMA 0,1 model can be written Xt - mu Zt - theta Zt-1 , where theta is a parameter to be estimated From the output of the arima R function above , the estimated value of theta given as ma1 in the R output is -0 7218 in the case of the ARIMA 0,1,1 model fitted to the time series of ages at death of kings. Specifying the confidence level for prediction intervals. You can specify the confidence level for prediction intervals in by using the level argument For example, to get a 99 5 prediction interval, we would type h 5, level c 99 5.We can then use the ARIMA model to make forecasts for future values of the time series, using the function in the forecast R package For example, to forecast the ages at death of the next five English kings, we type. The original time series for the English kings includes the ages at death of 42 English kings The function gives us a forecast of the age of death of the next five English kings kings 43-47 , as we ll as 80 and 95 prediction intervals for those predictions The age of death of the 42nd English king was 56 years the last observed value in our time series , and the ARIMA model gives the forecasted age at death of the next five kings as 67 8 years. We can plot the observed ages of death for the first 42 kings, as well as the ages that would be predicted for these 42 kings and for the next 5 kings using our ARIMA 0,1,1 model, by typing. As in the case of exponential smoothing models, it is a good idea to investigate whether the forecast errors of an ARIMA model are normally distributed with mean zero and constant variance, and whether the are correlations between successive forecast errors. For example, we can make a correlogram of the forecast errors for our ARIMA 0,1,1 model for the ages at death of kings, and perform the Ljung-Box test for lags 1-20, by typing. Since the correlogram shows that none of the sample autocorrelations for lags 1-20 exceed the significance bounds, and the p-v alue for the Ljung-Box test is 0 9, we can conclude that there is very little evidence for non-zero autocorrelations in the forecast errors at lags 1-20.To investigate whether the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance, we can make a time plot and histogram with overlaid normal curve of the forecast errors. The time plot of the in-sample forecast errors shows that the variance of the forecast errors seems to be roughly constant over time though perhaps there is slightly higher variance for the second half of the time series The histogram of the time series shows that the forecast errors are roughly normally distributed and the mean seems to be close to zero Therefore, it is plausible that the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance. Since successive forecast errors do not seem to be correlated, and the forecast errors seem to be normally distributed with mean zero and constant variance, the ARIMA 0,1,1 does seem to provide an adequate predictive model for the ages at death of English kings. Example of the Volcanic Dust Veil in the Northern Hemisphere. We discussed above that an appropriate ARIMA model for the time series of volcanic dust veil index may be an ARIMA 2,0,0 model To fit an ARIMA 2,0,0 model to this time series, we can type. As mentioned above, an ARIMA 2,0,0 model can be written as written as Xt - mu Beta1 Xt-1 - mu Beta2 Xt-2 - mu Zt, where Beta1 and Beta2 are parameters to be estimated The output of the arima function tells us that Beta1 and Beta2 are estimated as 0 7533 and -0 1268 here given as ar1 and ar2 in the output of arima. Now we have fitted the ARIMA 2,0,0 model, we can use the model to predict future values of the volcanic dust veil index The original data includes the years 1500-1969 To make predictions for the years 1970-2000 31 more years , we type. We can plot the original time series, and the forecasted values, by typing. One worrying thing is that the model has predi cted negative values for the volcanic dust veil index, but this variable can only have positive values The reason is that the arima and functions don t know that the variable can only take positive values Clearly, this is not a very desirable feature of our current predictive model. Again, we should investigate whether the forecast errors seem to be correlated, and whether they are normally distributed with mean zero and constant variance To check for correlations between successive forecast errors, we can make a correlogram and use the Ljung-Box test. The correlogram shows that the sample autocorrelation at lag 20 exceeds the significance bounds However, this is probably due to chance, since we would expect one out of 20 sample autocorrelations to exceed the 95 significance bounds Furthermore, the p-value for the Ljung-Box test is 0 2, indicating that there is little evidence for non-zero autocorrelations in the forecast errors for lags 1-20.To check whether the forecast errors are norm ally distributed with mean zero and constant variance, we make a time plot of the forecast errors, and a histogram. The time plot of forecast errors shows that the forecast errors seem to have roughly constant variance over time However, the time series of forecast errors seems to have a negative mean, rather than a zero mean We can confirm this by calculating the mean forecast error, which turns out to be about -0 22.The histogram of forecast errors above shows that although the mean value of the forecast errors is negative, the distribution of forecast errors is skewed to the right compared to a normal curve Therefore, it seems that we cannot comfortably conclude that the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance Thus, it is likely that our ARIMA 2,0,0 model for the time series of volcanic dust veil index is not the best model that we could make, and could almost definitely be improved upon. Links and Further Reading. Here are some links for further r eading. For a more in-depth introduction to R, a good online tutorial is available on the Kickstarting R website. There is another nice slightly more in-depth tutorial to R available on the Introduction to R website. You can find a list of R packages for analysing time series data on the CRAN Time Series Task View webpage. To learn about time series analysis, I would highly recommend the book Time series product code M249 02 by the Open University, available from the Open University Shop. There are two books available in the Use R series on using R for time series analyses, the first is Introductory Time Series with R by Cowpertwait and Metcalfe, and the second is Analysis of Integrated and Cointegrated Time Series with R by Pfaff. I am grateful to Professor Rob Hyndman for kindly allowing me to use the time series data sets from his Time Series Data Library TSDL in the examples in this booklet. Many of the examples in this booklet are inspired by examples in the excellent Open University boo k, Time series product code M249 02 , available from the Open University Shop. Thank you to Ravi Aranke for bringing to my attention, and Maurice Omane-Adjepong for bringing unit root tests to my attention, and Christian Seubert for noticing a small bug in plotForecastErrors Thank you for other comments to Antoine Binard and Bill Johnston. I will be grateful if you will send me Avril Coghlan corrections or suggestions for improvements to my email address alc sanger ac uk.